Sistema Binario

El sistema binario, en ciencias e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en lascomputadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

Conversión entre binario y decimal

Decimal a binario

Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división.
A continuación se ordenan los restos empezando desde el último al primero, simplemente se colocan en orden inverso a como aparecen en la división, se les da la vuelta. Éste será el número binario que buscamos.

Ejemplo
Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1
 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1
 32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0
 16 dividido entre 2 da 8  y el resto es igual a 0                   
  8 dividido entre 2 da 4  y el resto es igual a 0
  4 dividido entre 2 da 2  y el resto es igual a 0
  2 dividido entre 2 da 1  y el resto es igual a 0
  1 dividido entre 2 da 0  y el resto es igual a 1
             -> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

En sistema binario, 131 se escribe 10000011

Ejemplo
Transformar el número decimal 100 en binario.

Conversion.JPG

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.

Ejemplo
100|0
 50|0
 25|1   --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo entre 2
 12|0
  6|0
  3|1
  1|1   -->  (100)_{10} = (1100100)_2 

Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 28=256, es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151-128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.

Ejemplo
20=   1|0
  21=   2|0
  22=   4|0
  23=   8|0
  24=  16|0
  25=  32|0
  26=  64|0
  27= 128|1           128=(128)_{10} = (10000000)_2


Decimal (con decimales) a binario

Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:

  1. Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente).
  2. Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplicar 0.6 por 2 obtenemos como resultado 1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte entera del resultado).
  3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención.
  4. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0.1.
Ejemplo
0,3125 (decimal)   => 0,0101 (binario).
Proceso:
0,3125 · 2 = 0,625 => 0
0,625  · 2 = 1,25  => 1
0,25   · 2 = 0,5   => 0
0,5    · 2 = 1     => 1 
En orden: 0101     -> 0,0101 (binario)
Ejemplo
0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario). 
Proceso: 
0,1 · 2 = 0,2 ==> 0
0,2 · 2 = 0,4 ==> 0
0,4 · 2 = 0,8 ==> 0
0,8 · 2 = 1,6 ==> 1
0,6 · 2 = 1,2 ==> 1
0,2 · 2 = 0,4 ==> 0  <--se repiten las cuatro cifras, periódicamente
0,4 · 2 = 0,8 ==> 0  <-
0,8 · 2 = 1,6 ==> 1  <-
0,6 · 2 = 1,2 ==> 1  <- ...
En orden: 0 0011 0011 ... => 0,0 0011 0011 ... (binario periódico)
Ejemplo
5.5 = 5,5
5,5 (decimal)   => 101,1 (binario).
Proceso:
5 => 101
0,5 · 2 = 1 => 1
En orden: 1 (un sólo dígito fraccionario) -> 101,1 (binario)
Ejemplo
6,83 (decimal)   => 110,110101000111 (binario).
Proceso:
6 => 110
0,83 · 2 = 1,66 => 1
0,66 · 2 = 1,32 => 1
0,32 · 2 = 0,64 => 0
0,64 · 2 = 1,28 => 1
0,28 · 2 = 0,56 => 0
0,56 · 2 = 1,12 => 1
0,12 · 2 = 0,24 => 0
0,24 · 2 = 0,48 => 0
0,48 · 2 = 0,96 => 0
0,96 · 2 = 1,92 => 1
0,92 · 2 = 1,84 => 1
0,84 · 2 = 1,68 => 1
En orden: 110101000111 (binario)
Parte entera: 110 (binario)
Encadenando parte entera y fraccionaria: 110,110101000111 (binario)

Binario a decimal

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:

  1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada cifra multiplíquela por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 20).
  2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos:

  • (Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)

\overset{5}{\mathop{1}}\,\overset{4}{\mathop{1}}\,\overset{3}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{0}}\,\overset{0}{\mathop{1}}\,_{2}=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=32+16+0+4+0+1=53

\overset{7}{\mathop{1}}\,\overset{6}{\mathop{0}}\,\overset{5}{\mathop{0}}\,\overset{4}{\mathop{1}}\,\overset{3}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{1}}\,\overset{0}{\mathop{1}}\,_{2}=1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{6}+0\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=128+0+0+16+0+4+2+1=151

\overset{5}{\mathop{1}}\,\overset{4}{\mathop{1}}\,\overset{3}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{1}}\,\overset{0}{\mathop{1}}\,_{2}=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=32+16+0+4+2+1=55

También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.

Ejemplo

El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguiente manera:

\overset{64}{\mathop{1}}\,\overset{32}{\mathop{0}}\,\overset{16}{\mathop{1}}\,\overset{8}{\mathop{0}}\,\overset{4}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{0}}\,_{2}

entonces se suman los números 64, 16 y 2:

\overset{64}{\mathop{1}}\,\overset{32}{\mathop{0}}\,\overset{16}{\mathop{1}}\,\overset{8}{\mathop{0}}\,\overset{4}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{0}}\,_{2}=64+16+2=82

Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (en la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1:

\begin{align}  & \overset{5}{\mathop{1}}\,\overset{4}{\mathop{1}}\,\overset{3}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{0}}\,\overset{0}{\mathop{1}}\,,\overset{-1}{\mathop{1}}\,\overset{-2}{\mathop{0}}\,\overset{-3}{\mathop{1}}\,=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}= \\  & =32+16+0+4+0+1+\frac{1}{2^{1}}+\frac{0}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}=32+16+0+4+0+1+0,5+0+0,125=53,625 \\ \end{align}

Binario a decimal (con parte fraccionaria binaria)

1. Inicie por el lado izquierdo (la primera cifra a la derecha de la coma), cada número multiplíquelo por 2 elevado a la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por la potencia -1, 2-1).

2.Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos
  • 0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Proceso:
1 · 2 elevado a -1 = 0,5
0 · 2 elevado a -2 = 0
1 · 2 elevado a -3 = 0,125
0 · 2 elevado a -4 = 0
0 · 2 elevado a -5 = 0
1 · 2 elevado a -6 = 0,015625
La suma es: 0,640625
  • 0,110111 (binario) = 0,859375(decimal). Proceso:
1 · 2 elevado a -1 = 0,5
1 · 2 elevado a -2 = 0,25
0 · 2 elevado a -3 = 0
1 · 2 elevado a -4 = 0,0625
1 · 2 elevado a -5 = 0,03125
1 · 2 elevado a -6 = 0,015625
La suma es: 0,859375


TOMADO DE:
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario
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